Mời các bạn thuộc tham khảo câu chữ bài giảng Bài 1: Hệ phương thơm trình con đường tính sau đây nhằm tìm hiểu về dạng màn biểu diễn ma trận, giải hệ phương thơm trình tuyến đường tính bởi phương pháp Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ phương trình tuyến đường tính thuần tốt nhất,...

Bạn đang xem: Giải hệ phương trình bằng ma trận


1. Dạng trình diễn ma trận

2. Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss

3. Định lý Cronecker - Capelli

4. Hệ Cramer

5. Hệ phương thơm trình tuyến tính thuần nhất


*

Ví dụ: Xét hệ 3 pmùi hương trình đường tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)

Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))

Khi đó, hệ phương thơm trình trên hoàn toàn có thể viết lại dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong trường phù hợp bao quát, ta xét hệ m phương thơm trình con đường tính nẩn như sau:

(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)

Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). khi đó, hệ pmùi hương trình bên trên rất có thể viết lại dưới dạng ma trận là AX = B.

Ma trận(A_m x n) Call là ma trận hệ sổ của hệ phương thơm trình.Ma trận(overline A = (A|B)) gọi là ma trận thông số mở rộng của hệ phương thơm trình.X call là vectơ ẩn.

2. Giải hệ pmùi hương trình đường tính bằng phương thức Gauss.


Một cách thức thường dùng nhằm giải hệ phương thơm trình con đường tính là cách thức Gauss, đưa ma trận thông số mở rộng (overline A ) về dạng cầu thang xuất xắc cầu thang thu gọn gàng, nhờ vào các phnghiền thay đổi sơ cung cấp trên mẫu.

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))

Giải:

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là :

Ta bao gồm hệ pmùi hương trình (I) tương đương:

(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)

Cho(x_3 = alpha in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - alpha ,x_2 = 5 - altrộn ,x_3 = altrộn )

Nhỏng vắt, hệ phương trình bao gồm rất nhiều nghiệm cùng với nghiệm bao quát là:

(X = (4 - alpha ;5 - alpha ;alpha );altrộn in R)

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))

Giải

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là:

Ta tất cả hệ pmùi hương trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)

Vậy hệ tất cả nghiệm nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta bao gồm hệ pmùi hương trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm


3. Định lý Cronecker - Capelli


Xét hệ pmùi hương trình tuyến đường tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)

Ta có:

Hệ gồm nghiệm duy nhất(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = n)Hệ gồm vô vàn nghiệm(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = k lúc kia, hệ phương thơm trình bao gồm k ẩn chủ yếu ứng với k thành phần đứng vị trí số 1 và n - k ẩn tự do thoải mái, được gửi sang vế buộc phải.Hệ vô nghiệm( Leftrightarrow R(A)

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn

Vậy hệ gồm nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))

Giải:Ma trận thông số mở rộng của (I) là

Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ có rất nhiều nghiệm cùng với 2 ẩn chính ứng với 2 thành phần dẫn đầu là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn tự do x3 ta tất cả hệ phương thơm trình bao gồm vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là:(X = left( 1 - fracaltrộn 2; - 2 + fracalpha 2;alpha ight),với,alpha in R)


4. Hệ Cramer


Hệ phương thơm trình tuyến tính AX = B được gọi là hệ Cramer nếu như A là ma trận vuông ko suy biến đổi , nghĩa là(left| A ight| e 0)

khi đó, ta bao gồm nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)

Nếu cấp cho của ma trận A hơi Khủng thì câu hỏi tìm(A^-1) tương đổi tinh vi. Hơn nữa, tất cả Khi ta chi phải tìm kiếm một vài ẩn (x_j) thay vì chưng tổng thể những ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Từ đó, fan ta tìm ra công thúc tính từng ẩn (x_j) dựa vào bí quyết (X = A^-1B) nhỏng sau :

(x_j = fracD_jD)

Trong số đó (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận có được từ bỏ A bằng phương pháp chũm cột j do vế yêu cầu (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)

Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))


5. Hệ phương thơm trình con đường tính thuần duy nhất.


Hệ phương trình tuyến đường tính AX = 0 call là hệ thuần nhất. Ngoài các tính chất phổ biến của hệ AX = B, hệ thuần tuyệt nhất AX = 0 còn có những tính chất riêng biệt nlỗi sau :

Hệ luôn luôn luôn có nghiệm tầm thường X = 0 (không tồn tại ngôi trường thích hợp hệ vô nghiệm)Nếu A là ma trận vuông, ko suy biến chuyển thì hệ tất cả nghiệm độc nhất vô nhị (X = A^-10 = 0), chính là nghiệm tầm thường.Nếu hệ tất cả rất nhiều nghiệm thì tập nghiệm là một trong những không gian bé của ko gian(R^n) (cùng với n là số ẩn). Một cơ sở của không gian nghiệm được điện thoại tư vấn là một trong những hệ nghiệm cơ phiên bản.

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)

Đây là hệ Cramer, buộc phải hệ gồm nghiệm duy nhất X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Hệ bao gồm vô số nghiệm cùng với nghiệm tổng quát là:(X = ( - altrộn ; - 2alpha ;alpha ) = alpha ( - 1; - 2;1),alpha in R)

Một hệ nghiệm cơ phiên bản là (-1;-2;1). Số chiều của không khí nghiệm là một trong.

Xem thêm: Cách Đăng Xuất Khỏi Tất Cả Các Thiết Bị Gmail Từ Xa, Logout Gmail Từ Xa

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm tổng thể là:

(X = (alpha + 2eta ;altrộn + eta ;altrộn ;eta ) = altrộn (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,altrộn ,eta in R)

Một hệ nghiệm cơ bạn dạng là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không khí nghiệm là 2.